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# Blatt 6 #
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#aufgabe 2

# p_0=0.24 errechnet als Mittelwert der Trefferraten der anderen Teams
# Trefferrate beobachtet fuer Nuernberg: 0.17 (H_0: p=0.24 sollte also 
# vielleicht abgelehnt werden; siehe unten)

#a
# Unter H_0 erwartet np_0=207*0.24=49.68 (daher 50)

#symmetrischer Annahmebereich, so dass die Wahrscheinlichkeit zum ersten 
# Mal groesser-gleich 0.95 ist
sum(dbinom(39:61, 207, 0.24)) # noch kleiner als 0.95
sum(dbinom(38:62, 207, 0.24)) # zum ersten Mal groesser-gleich

#Wert fuer Nuernberg, 35, liegt ausserhalb des symmtr. Annahmebereichs 
# => Hypothese H_0 kann verworfen werden!

#symmetrischer Annahmebereich, so dass die Wahrscheinlichkeit zum ersten 
# Mal groesser-gleich 0.99 ist
sum(dbinom(35:65, 207, 0.24)) # noch kleiner als 0.99
sum(dbinom(34:66, 207, 0.24)) # zum ersten Mal groesser-gleich

#Wert fuer Nuernberg, 35, liegt innerhalb des Annahmebereichs 
#(gerade so, auf der Grenze)
#=> Hypothese kann nicht verworfen werden!


#Ohne ausprobieren
p<-vector(length = 50) # logischer Vektor der Laenge 50
for(i in 1:50){
p[i]<-sum(dbinom((50-i):(50+i), 207,0.24)) # symmtr. Intervall der Laenge 2i
}

#Annahmebereich
# min(which()): kleinster Index mit Wahrscheinlichkeit >= 0.95
lb_095<-50 - min(which(p >= 0.95)) 
ub_095<-50 + min(which(p >= 0.95))

lb_095; ub_095 # obige Werte zurueck erhalten

# Test, ob Wert fuer Nuernberg im Annahmebereich liegt
lb_095 <= 35 && ub_095 >= 35 

# Analog fuer Niveau 0.01
lb_099<-50 - min(which(p >= 0.99))
ub_099<-50 + min(which(p >= 0.99))
lb_099 <= 35 && ub_099 >= 35 


#b
# Exakter Binomialtest
binom.test(35,207,0.24) 
# p-value: 0.01795 (default conf.level: 0.95)
# 95 percent confidence interval: [0.1206874, 0.2272250] 
# fuer p

binom.test(35,207,0.24, conf.level = 0.99) 
# 99 percent confidence interval: [0.1078676, 0.2460512]
# fuer p (ist natuerlich breiter wie oben)


#aufgabe 5

Tore<-rbinom(100, 190, 0.24) # 100 B(190, 0.24)-Realisationen

p.wert<-vector(length =100) # logischer Vektor der Laenge 100

for(i in 1:100){
p.wert[i]<-binom.test(Tore[i], 190, 0.24)$p.value # p.value Komponente auswaehlen
}

# Zur Veranschaulichung: die Struktur eines binom.test()-Resultats
# str(binom.test(Tore[1], 190, 0.24))
# binom.test(Tore[1], 190, 0.24)$p.value

# H_0 ablehnen, falls p-Wert < 0.05
# Da H_0 hier gilt (Simulation), sind das Fehler 1.Art
# Dieser sollte ja 5% sein
sum(p.wert < 0.05)


#100 mal wiederholen

P.WERT<-matrix(ncol =100, nrow =100) # 100 Wiederholungen obiger Situation

for(i in 1:100){ 
Tore<-rbinom(100,190,0.24) # jede Zeile eine Wiederholung obiger Situation
for(j in 1:100){ # in die Spalten der Zeile i werden die Realisationen geschrieben
P.WERT[i,j]<- binom.test(Tore[j], 190, 0.24)$p.value
}
}

# H_0 ablehnen, falls p-Wert < 0.05
# Da H_0 hier gilt (Simulation), sind das Fehler 1.Art
# Dieser sollte ja 5% sein
sum(P.WERT < 0.05)/100 # ueber alle 100*100 Eintraege (Binomialtests)

# Zeilenweise betrachtet: Fehler 1. Art in Prozent (bei 100 Binomialtest)
resultat<-vector(length = 100) # logischer Vektor der Laenge 100

for(i in 1:100){
resultat[i]<-sum(P.WERT[i,] < 0.05) # i-te Zeile Fehler 1. Art (bei 100 Tests)
}

# Veranschaulichungen
sort(resultat) # aufsteigend sortiert
table(resultat) # Tabelle
barplot(table(resultat), ylim = c(0,30)) # Saeulendiagramm (Barchart)